\(\int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx\) [272]

Optimal result

Integrand size = 31, antiderivative size = 402 \[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=-\frac {b^2 \left (20 a^4 A b-29 a^2 A b^3+12 A b^5-12 a^5 B+15 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2} d}+\frac {\left (a^2 A+12 A b^2-6 a b B\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 a^5 d}-\frac {\left (6 a^4 A b-21 a^2 A b^3+12 A b^5-2 a^5 B+11 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {b (A b-a B) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))} \]

[Out]

-b^2*(20*A*a^4*b-29*A*a^2*b^3+12*A*b^5-12*B*a^5+15*B*a^3*b^2-6*B*a*b^4)*arctan((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/
(a+b)^(1/2))/a^5/(a-b)^(5/2)/(a+b)^(5/2)/d+1/2*(A*a^2+12*A*b^2-6*B*a*b)*arctanh(sin(d*x+c))/a^5/d-1/2*(6*A*a^4
*b-21*A*a^2*b^3+12*A*b^5-2*B*a^5+11*B*a^3*b^2-6*B*a*b^4)*tan(d*x+c)/a^4/(a^2-b^2)^2/d+1/2*(A*a^4-10*A*a^2*b^2+
6*A*b^4+6*B*a^3*b-3*B*a*b^3)*sec(d*x+c)*tan(d*x+c)/a^3/(a^2-b^2)^2/d+1/2*b*(A*b-B*a)*sec(d*x+c)*tan(d*x+c)/a/(
a^2-b^2)/d/(a+b*cos(d*x+c))^2+1/2*b*(7*A*a^2*b-4*A*b^3-5*B*a^3+2*B*a*b^2)*sec(d*x+c)*tan(d*x+c)/a^2/(a^2-b^2)^
2/d/(a+b*cos(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 2.27 (sec) , antiderivative size = 402, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 6, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.194, Rules used = {3079, 3134, 3080, 3855, 2738, 211} \[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\frac {b (A b-a B) \tan (c+d x) \sec (c+d x)}{2 a d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\left (a^2 A-6 a b B+12 A b^2\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 a^5 d}+\frac {b \left (-5 a^3 B+7 a^2 A b+2 a b^2 B-4 A b^3\right ) \tan (c+d x) \sec (c+d x)}{2 a^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (a^4 A+6 a^3 b B-10 a^2 A b^2-3 a b^3 B+6 A b^4\right ) \tan (c+d x) \sec (c+d x)}{2 a^3 d \left (a^2-b^2\right )^2}-\frac {b^2 \left (-12 a^5 B+20 a^4 A b+15 a^3 b^2 B-29 a^2 A b^3-6 a b^4 B+12 A b^5\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 d (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2}}-\frac {\left (-2 a^5 B+6 a^4 A b+11 a^3 b^2 B-21 a^2 A b^3-6 a b^4 B+12 A b^5\right ) \tan (c+d x)}{2 a^4 d \left (a^2-b^2\right )^2} \]

[In]

Int[((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3)/(a + b*Cos[c + d*x])^3,x]

[Out]

-((b^2*(20*a^4*A*b - 29*a^2*A*b^3 + 12*A*b^5 - 12*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B)*ArcTan[(Sqrt[a - b]*Tan[(c
+ d*x)/2])/Sqrt[a + b]])/(a^5*(a - b)^(5/2)*(a + b)^(5/2)*d)) + ((a^2*A + 12*A*b^2 - 6*a*b*B)*ArcTanh[Sin[c +
d*x]])/(2*a^5*d) - ((6*a^4*A*b - 21*a^2*A*b^3 + 12*A*b^5 - 2*a^5*B + 11*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B)*Tan[c + d*x])/
(2*a^4*(a^2 - b^2)^2*d) + ((a^4*A - 10*a^2*A*b^2 + 6*A*b^4 + 6*a^3*b*B - 3*a*b^3*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])
/(2*a^3*(a^2 - b^2)^2*d) + (b*(A*b - a*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Cos[c + d*x])^2
) + (b*(7*a^2*A*b - 4*A*b^3 - 5*a^3*B + 2*a*b^2*B)*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/(2*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Co
s[c + d*x]))

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3079

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e
_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 - a*b*B))*Cos[e + f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c +
d*Sin[e + f*x])^(1 + n)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + Dist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), I
nt[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(a*A - b*B)*(b*c - a*d)*(m + 1) + b*d*(A*b - a*B)*
(m + n + 2) + (A*b - a*B)*(a*d*(m + 1) - b*c*(m + 2))*Sin[e + f*x] - b*d*(A*b - a*B)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^
2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 -
d^2, 0] && RationalQ[m] && m < -1 && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n
, -1] && ((IntegerQ[n] &&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3080

Int[((A_.) + (B_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])/(((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.)
+ (f_.)*(x_)])), x_Symbol] :> Dist[(A*b - a*B)/(b*c - a*d), Int[1/(a + b*Sin[e + f*x]), x], x] + Dist[(B*c - A
*d)/(b*c - a*d), Int[1/(c + d*Sin[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
&& NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0]

Rule 3134

Int[((a_.) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*s
in[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[(-(A*b^2 - a*b*B + a^2*C))*Cos[e
+ f*x]*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*((c + d*Sin[e + f*x])^(n + 1)/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2))), x] + D
ist[1/((m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Sin[e + f*x])^n*Simp[(m + 1)*
(b*c - a*d)*(a*A - b*B + a*C) + d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2) - (c*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C) + (m + 1)*(
b*c - a*d)*(A*b - a*B + b*C))*Sin[e + f*x] - d*(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 3)*Sin[e + f*x]^2, x], x], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ[c^2 - d^2, 0] &&
LtQ[m, -1] && ((EqQ[a, 0] && IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n]) ||  !(IntegerQ[2*n] && LtQ[n, -1] && ((IntegerQ[n]
&&  !IntegerQ[m]) || EqQ[a, 0])))

Rule 3855

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[-ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {b (A b-a B) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {\int \frac {\left (2 \left (a^2 A-2 A b^2+a b B\right )-2 a (A b-a B) \cos (c+d x)+3 b (A b-a B) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^2} \, dx}{2 a \left (a^2-b^2\right )} \\ & = \frac {b (A b-a B) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (2 \left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right )-a \left (4 a^2 A b-A b^3-2 a^3 B-a b^2 B\right ) \cos (c+d x)+2 b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^3(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {b (A b-a B) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (-2 \left (6 a^4 A b-21 a^2 A b^3+12 A b^5-2 a^5 B+11 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right )+2 a \left (a^4 A+4 a^2 A b^2-2 A b^4-4 a^3 b B+a b^3 B\right ) \cos (c+d x)+2 b \left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \cos ^2(c+d x)\right ) \sec ^2(c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{4 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {\left (6 a^4 A b-21 a^2 A b^3+12 A b^5-2 a^5 B+11 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {b (A b-a B) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\int \frac {\left (2 \left (a^2-b^2\right )^2 \left (a^2 A+12 A b^2-6 a b B\right )+2 a b \left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \cos (c+d x)\right ) \sec (c+d x)}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{4 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = -\frac {\left (6 a^4 A b-21 a^2 A b^3+12 A b^5-2 a^5 B+11 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {b (A b-a B) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}+\frac {\left (a^2 A+12 A b^2-6 a b B\right ) \int \sec (c+d x) \, dx}{2 a^5}-\frac {\left (b^2 \left (20 a^4 A b-29 a^2 A b^3+12 A b^5-12 a^5 B+15 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right )\right ) \int \frac {1}{a+b \cos (c+d x)} \, dx}{2 a^5 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {\left (a^2 A+12 A b^2-6 a b B\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 a^5 d}-\frac {\left (6 a^4 A b-21 a^2 A b^3+12 A b^5-2 a^5 B+11 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {b (A b-a B) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))}-\frac {\left (b^2 \left (20 a^4 A b-29 a^2 A b^3+12 A b^5-12 a^5 B+15 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right )\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{a+b+(a-b) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{a^5 \left (a^2-b^2\right )^2 d} \\ & = -\frac {b^2 \left (20 a^4 A b-29 a^2 A b^3+12 A b^5-12 a^5 B+15 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \arctan \left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^5 (a-b)^{5/2} (a+b)^{5/2} d}+\frac {\left (a^2 A+12 A b^2-6 a b B\right ) \text {arctanh}(\sin (c+d x))}{2 a^5 d}-\frac {\left (6 a^4 A b-21 a^2 A b^3+12 A b^5-2 a^5 B+11 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \tan (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {\left (a^4 A-10 a^2 A b^2+6 A b^4+6 a^3 b B-3 a b^3 B\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^3 \left (a^2-b^2\right )^2 d}+\frac {b (A b-a B) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \cos (c+d x))^2}+\frac {b \left (7 a^2 A b-4 A b^3-5 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{2 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \cos (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 3.00 (sec) , antiderivative size = 507, normalized size of antiderivative = 1.26 \[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\frac {\frac {16 b^2 \left (20 a^4 A b-29 a^2 A b^3+12 A b^5-12 a^5 B+15 a^3 b^2 B-6 a b^4 B\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(a-b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {-a^2+b^2}}\right )}{\left (-a^2+b^2\right )^{5/2}}-8 \left (a^2 A+12 A b^2-6 a b B\right ) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )-\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )+8 \left (a^2 A+12 A b^2-6 a b B\right ) \log \left (\cos \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )+\sin \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )+\frac {2 a \left (4 a^7 A-30 a^5 A b^2+68 a^3 A b^4-36 a A b^6+8 a^6 b B-32 a^4 b^3 B+18 a^2 b^5 B+\left (-16 a^6 A b+14 a^4 A b^3+47 a^2 A b^5-36 A b^7+8 a^7 B-10 a^5 b^2 B-25 a^3 b^4 B+18 a b^6 B\right ) \cos (c+d x)+2 a b \left (-11 a^4 A b+32 a^2 A b^3-18 A b^5+4 a^5 B-16 a^3 b^2 B+9 a b^4 B\right ) \cos (2 (c+d x))-6 a^4 A b^3 \cos (3 (c+d x))+21 a^2 A b^5 \cos (3 (c+d x))-12 A b^7 \cos (3 (c+d x))+2 a^5 b^2 B \cos (3 (c+d x))-11 a^3 b^4 B \cos (3 (c+d x))+6 a b^6 B \cos (3 (c+d x))\right ) \sec (c+d x) \tan (c+d x)}{\left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \cos (c+d x))^2}}{16 a^5 d} \]

[In]

Integrate[((A + B*Cos[c + d*x])*Sec[c + d*x]^3)/(a + b*Cos[c + d*x])^3,x]

[Out]

((16*b^2*(20*a^4*A*b - 29*a^2*A*b^3 + 12*A*b^5 - 12*a^5*B + 15*a^3*b^2*B - 6*a*b^4*B)*ArcTanh[((a - b)*Tan[(c
+ d*x)/2])/Sqrt[-a^2 + b^2]])/(-a^2 + b^2)^(5/2) - 8*(a^2*A + 12*A*b^2 - 6*a*b*B)*Log[Cos[(c + d*x)/2] - Sin[(
c + d*x)/2]] + 8*(a^2*A + 12*A*b^2 - 6*a*b*B)*Log[Cos[(c + d*x)/2] + Sin[(c + d*x)/2]] + (2*a*(4*a^7*A - 30*a^
5*A*b^2 + 68*a^3*A*b^4 - 36*a*A*b^6 + 8*a^6*b*B - 32*a^4*b^3*B + 18*a^2*b^5*B + (-16*a^6*A*b + 14*a^4*A*b^3 +
47*a^2*A*b^5 - 36*A*b^7 + 8*a^7*B - 10*a^5*b^2*B - 25*a^3*b^4*B + 18*a*b^6*B)*Cos[c + d*x] + 2*a*b*(-11*a^4*A*
b + 32*a^2*A*b^3 - 18*A*b^5 + 4*a^5*B - 16*a^3*b^2*B + 9*a*b^4*B)*Cos[2*(c + d*x)] - 6*a^4*A*b^3*Cos[3*(c + d*
x)] + 21*a^2*A*b^5*Cos[3*(c + d*x)] - 12*A*b^7*Cos[3*(c + d*x)] + 2*a^5*b^2*B*Cos[3*(c + d*x)] - 11*a^3*b^4*B*
Cos[3*(c + d*x)] + 6*a*b^6*B*Cos[3*(c + d*x)])*Sec[c + d*x]*Tan[c + d*x])/((a^2 - b^2)^2*(a + b*Cos[c + d*x])^
2))/(16*a^5*d)

Maple [A] (verified)

Time = 3.04 (sec) , antiderivative size = 460, normalized size of antiderivative = 1.14

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {-\frac {A}{2 a^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )^{2}}-\frac {-a A -6 A b +2 B a}{2 a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}+\frac {\left (A \,a^{2}+12 A \,b^{2}-6 B a b \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{2 a^{5}}+\frac {A}{2 a^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )^{2}}-\frac {-a A -6 A b +2 B a}{2 a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}+\frac {\left (-A \,a^{2}-12 A \,b^{2}+6 B a b \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{2 a^{5}}-\frac {2 b^{2} \left (\frac {-\frac {\left (10 A \,a^{2} b +A a \,b^{2}-6 A \,b^{3}-8 B \,a^{3}-B \,a^{2} b +4 B a \,b^{2}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}-\frac {b a \left (10 A \,a^{2} b -A a \,b^{2}-6 A \,b^{3}-8 B \,a^{3}+B \,a^{2} b +4 B a \,b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a -b \right )^{2}}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{2}}+\frac {\left (20 A \,a^{4} b -29 A \,a^{2} b^{3}+12 A \,b^{5}-12 B \,a^{5}+15 B \,a^{3} b^{2}-6 B a \,b^{4}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{a^{5}}}{d}\)	\(460\)
default	\(\frac {-\frac {A}{2 a^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )^{2}}-\frac {-a A -6 A b +2 B a}{2 a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}+\frac {\left (A \,a^{2}+12 A \,b^{2}-6 B a b \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )+1\right )}{2 a^{5}}+\frac {A}{2 a^{3} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )^{2}}-\frac {-a A -6 A b +2 B a}{2 a^{4} \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}+\frac {\left (-A \,a^{2}-12 A \,b^{2}+6 B a b \right ) \ln \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )-1\right )}{2 a^{5}}-\frac {2 b^{2} \left (\frac {-\frac {\left (10 A \,a^{2} b +A a \,b^{2}-6 A \,b^{3}-8 B \,a^{3}-B \,a^{2} b +4 B a \,b^{2}\right ) a b \left (\tan ^{3}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}-\frac {b a \left (10 A \,a^{2} b -A a \,b^{2}-6 A \,b^{3}-8 B \,a^{3}+B \,a^{2} b +4 B a \,b^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a -b \right )^{2}}}{{\left (\left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right ) a -b \left (\tan ^{2}\left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )+a +b \right )}^{2}}+\frac {\left (20 A \,a^{4} b -29 A \,a^{2} b^{3}+12 A \,b^{5}-12 B \,a^{5}+15 B \,a^{3} b^{2}-6 B a \,b^{4}\right ) \arctan \left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{4}-2 a^{2} b^{2}+b^{4}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{a^{5}}}{d}\)	\(460\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(2118\)

[In]

int((A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^3/(a+cos(d*x+c)*b)^3,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(-1/2*A/a^3/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)^2-1/2*(-A*a-6*A*b+2*B*a)/a^4/(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)+1/2*(A*a^2+12*A*b^2
-6*B*a*b)/a^5*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)+1)+1/2*A/a^3/(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1)^2-1/2*(-A*a-6*A*b+2*B*a)/a^4/(tan(1/2*
d*x+1/2*c)-1)+1/2/a^5*(-A*a^2-12*A*b^2+6*B*a*b)*ln(tan(1/2*d*x+1/2*c)-1)-2*b^2/a^5*((-1/2*(10*A*a^2*b+A*a*b^2-
6*A*b^3-8*B*a^3-B*a^2*b+4*B*a*b^2)*a*b/(a-b)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3-1/2*b*a*(10*A*a^2*b-A*a*b^2-
6*A*b^3-8*B*a^3+B*a^2*b+4*B*a*b^2)/(a+b)/(a-b)^2*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-b*tan(1/2*d*x+1/2
*c)^2+a+b)^2+1/2*(20*A*a^4*b-29*A*a^2*b^3+12*A*b^5-12*B*a^5+15*B*a^3*b^2-6*B*a*b^4)/(a^4-2*a^2*b^2+b^4)/((a-b)
*(a+b))^(1/2)*arctan((a-b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a-b)*(a+b))^(1/2))))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1174 vs. \(2 (382) = 764\).

Time = 43.61 (sec) , antiderivative size = 2416, normalized size of antiderivative = 6.01 \[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^3/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(((12*B*a^5*b^4 - 20*A*a^4*b^5 - 15*B*a^3*b^6 + 29*A*a^2*b^7 + 6*B*a*b^8 - 12*A*b^9)*cos(d*x + c)^4 + 2*(
12*B*a^6*b^3 - 20*A*a^5*b^4 - 15*B*a^4*b^5 + 29*A*a^3*b^6 + 6*B*a^2*b^7 - 12*A*a*b^8)*cos(d*x + c)^3 + (12*B*a
^7*b^2 - 20*A*a^6*b^3 - 15*B*a^5*b^4 + 29*A*a^4*b^5 + 6*B*a^3*b^6 - 12*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c)^2)*sqrt(-a^2 +
b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) + (2*a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 - 2*sqrt(-a^2 + b^2)*(a*cos(d*x + c) + b)*sin(d*x
+ c) - a^2 + 2*b^2)/(b^2*cos(d*x + c)^2 + 2*a*b*cos(d*x + c) + a^2)) + ((A*a^8*b^2 - 6*B*a^7*b^3 + 9*A*a^6*b^4
+ 18*B*a^5*b^5 - 33*A*a^4*b^6 - 18*B*a^3*b^7 + 35*A*a^2*b^8 + 6*B*a*b^9 - 12*A*b^10)*cos(d*x + c)^4 + 2*(A*a^
9*b - 6*B*a^8*b^2 + 9*A*a^7*b^3 + 18*B*a^6*b^4 - 33*A*a^5*b^5 - 18*B*a^4*b^6 + 35*A*a^3*b^7 + 6*B*a^2*b^8 - 12
*A*a*b^9)*cos(d*x + c)^3 + (A*a^10 - 6*B*a^9*b + 9*A*a^8*b^2 + 18*B*a^7*b^3 - 33*A*a^6*b^4 - 18*B*a^5*b^5 + 35
*A*a^4*b^6 + 6*B*a^3*b^7 - 12*A*a^2*b^8)*cos(d*x + c)^2)*log(sin(d*x + c) + 1) - ((A*a^8*b^2 - 6*B*a^7*b^3 + 9
*A*a^6*b^4 + 18*B*a^5*b^5 - 33*A*a^4*b^6 - 18*B*a^3*b^7 + 35*A*a^2*b^8 + 6*B*a*b^9 - 12*A*b^10)*cos(d*x + c)^4
+ 2*(A*a^9*b - 6*B*a^8*b^2 + 9*A*a^7*b^3 + 18*B*a^6*b^4 - 33*A*a^5*b^5 - 18*B*a^4*b^6 + 35*A*a^3*b^7 + 6*B*a^
2*b^8 - 12*A*a*b^9)*cos(d*x + c)^3 + (A*a^10 - 6*B*a^9*b + 9*A*a^8*b^2 + 18*B*a^7*b^3 - 33*A*a^6*b^4 - 18*B*a^
5*b^5 + 35*A*a^4*b^6 + 6*B*a^3*b^7 - 12*A*a^2*b^8)*cos(d*x + c)^2)*log(-sin(d*x + c) + 1) + 2*(A*a^10 - 3*A*a^
8*b^2 + 3*A*a^6*b^4 - A*a^4*b^6 + (2*B*a^8*b^2 - 6*A*a^7*b^3 - 13*B*a^6*b^4 + 27*A*a^5*b^5 + 17*B*a^4*b^6 - 33
*A*a^3*b^7 - 6*B*a^2*b^8 + 12*A*a*b^9)*cos(d*x + c)^3 + (4*B*a^9*b - 11*A*a^8*b^2 - 20*B*a^7*b^3 + 43*A*a^6*b^
4 + 25*B*a^5*b^5 - 50*A*a^4*b^6 - 9*B*a^3*b^7 + 18*A*a^2*b^8)*cos(d*x + c)^2 + 2*(B*a^10 - 2*A*a^9*b - 3*B*a^8
*b^2 + 6*A*a^7*b^3 + 3*B*a^6*b^4 - 6*A*a^5*b^5 - B*a^4*b^6 + 2*A*a^3*b^7)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^11*b
^2 - 3*a^9*b^4 + 3*a^7*b^6 - a^5*b^8)*d*cos(d*x + c)^4 + 2*(a^12*b - 3*a^10*b^3 + 3*a^8*b^5 - a^6*b^7)*d*cos(d
*x + c)^3 + (a^13 - 3*a^11*b^2 + 3*a^9*b^4 - a^7*b^6)*d*cos(d*x + c)^2), 1/4*(2*((12*B*a^5*b^4 - 20*A*a^4*b^5
- 15*B*a^3*b^6 + 29*A*a^2*b^7 + 6*B*a*b^8 - 12*A*b^9)*cos(d*x + c)^4 + 2*(12*B*a^6*b^3 - 20*A*a^5*b^4 - 15*B*a
^4*b^5 + 29*A*a^3*b^6 + 6*B*a^2*b^7 - 12*A*a*b^8)*cos(d*x + c)^3 + (12*B*a^7*b^2 - 20*A*a^6*b^3 - 15*B*a^5*b^4
+ 29*A*a^4*b^5 + 6*B*a^3*b^6 - 12*A*a^2*b^7)*cos(d*x + c)^2)*sqrt(a^2 - b^2)*arctan(-(a*cos(d*x + c) + b)/(sq
rt(a^2 - b^2)*sin(d*x + c))) + ((A*a^8*b^2 - 6*B*a^7*b^3 + 9*A*a^6*b^4 + 18*B*a^5*b^5 - 33*A*a^4*b^6 - 18*B*a^
3*b^7 + 35*A*a^2*b^8 + 6*B*a*b^9 - 12*A*b^10)*cos(d*x + c)^4 + 2*(A*a^9*b - 6*B*a^8*b^2 + 9*A*a^7*b^3 + 18*B*a
^6*b^4 - 33*A*a^5*b^5 - 18*B*a^4*b^6 + 35*A*a^3*b^7 + 6*B*a^2*b^8 - 12*A*a*b^9)*cos(d*x + c)^3 + (A*a^10 - 6*B
*a^9*b + 9*A*a^8*b^2 + 18*B*a^7*b^3 - 33*A*a^6*b^4 - 18*B*a^5*b^5 + 35*A*a^4*b^6 + 6*B*a^3*b^7 - 12*A*a^2*b^8)
*cos(d*x + c)^2)*log(sin(d*x + c) + 1) - ((A*a^8*b^2 - 6*B*a^7*b^3 + 9*A*a^6*b^4 + 18*B*a^5*b^5 - 33*A*a^4*b^6
- 18*B*a^3*b^7 + 35*A*a^2*b^8 + 6*B*a*b^9 - 12*A*b^10)*cos(d*x + c)^4 + 2*(A*a^9*b - 6*B*a^8*b^2 + 9*A*a^7*b^
3 + 18*B*a^6*b^4 - 33*A*a^5*b^5 - 18*B*a^4*b^6 + 35*A*a^3*b^7 + 6*B*a^2*b^8 - 12*A*a*b^9)*cos(d*x + c)^3 + (A*
a^10 - 6*B*a^9*b + 9*A*a^8*b^2 + 18*B*a^7*b^3 - 33*A*a^6*b^4 - 18*B*a^5*b^5 + 35*A*a^4*b^6 + 6*B*a^3*b^7 - 12*
A*a^2*b^8)*cos(d*x + c)^2)*log(-sin(d*x + c) + 1) + 2*(A*a^10 - 3*A*a^8*b^2 + 3*A*a^6*b^4 - A*a^4*b^6 + (2*B*a
^8*b^2 - 6*A*a^7*b^3 - 13*B*a^6*b^4 + 27*A*a^5*b^5 + 17*B*a^4*b^6 - 33*A*a^3*b^7 - 6*B*a^2*b^8 + 12*A*a*b^9)*c
os(d*x + c)^3 + (4*B*a^9*b - 11*A*a^8*b^2 - 20*B*a^7*b^3 + 43*A*a^6*b^4 + 25*B*a^5*b^5 - 50*A*a^4*b^6 - 9*B*a^
3*b^7 + 18*A*a^2*b^8)*cos(d*x + c)^2 + 2*(B*a^10 - 2*A*a^9*b - 3*B*a^8*b^2 + 6*A*a^7*b^3 + 3*B*a^6*b^4 - 6*A*a
^5*b^5 - B*a^4*b^6 + 2*A*a^3*b^7)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/((a^11*b^2 - 3*a^9*b^4 + 3*a^7*b^6 - a^5*b^8)*d*
cos(d*x + c)^4 + 2*(a^12*b - 3*a^10*b^3 + 3*a^8*b^5 - a^6*b^7)*d*cos(d*x + c)^3 + (a^13 - 3*a^11*b^2 + 3*a^9*b
^4 - a^7*b^6)*d*cos(d*x + c)^2)]

Sympy [F]

\[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\int \frac {\left (A + B \cos {\left (c + d x \right )}\right ) \sec ^{3}{\left (c + d x \right )}}{\left (a + b \cos {\left (c + d x \right )}\right )^{3}}\, dx \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)**3/(a+b*cos(d*x+c))**3,x)

[Out]

Integral((A + B*cos(c + d*x))*sec(c + d*x)**3/(a + b*cos(c + d*x))**3, x)

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^3/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*b^2-4*a^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1395 vs. \(2 (382) = 764\).

Time = 0.37 (sec) , antiderivative size = 1395, normalized size of antiderivative = 3.47 \[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((A+B*cos(d*x+c))*sec(d*x+c)^3/(a+b*cos(d*x+c))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/2*(2*(12*B*a^5*b^2 - 20*A*a^4*b^3 - 15*B*a^3*b^4 + 29*A*a^2*b^5 + 6*B*a*b^6 - 12*A*b^7)*(pi*floor(1/2*(d*x
+ c)/pi + 1/2)*sgn(-2*a + 2*b) + arctan(-(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/sqrt(a^2 - b^2)))/(
(a^9 - 2*a^7*b^2 + a^5*b^4)*sqrt(a^2 - b^2)) - 2*(A*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 2*B*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^
7 + 4*A*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 4*B*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 13*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7
+ 2*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 2*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 16*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^
7 + 33*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 9*B*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 17*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*
c)^7 + 9*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 18*A*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 - 6*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)
^7 + 12*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^7 + 3*A*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 2*B*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 4*A*a
^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 4*B*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 5*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 10*B*a^5
*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 26*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 16*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 29*A
*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 35*B*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 67*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 -
9*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 18*A*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 18*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 3
6*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 3*A*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 2*B*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 4*A*a^6*b*t
an(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 4*B*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 5*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 10*B*a^5*b^2*t
an(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 26*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 16*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 29*A*a^3*b
^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 35*B*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 67*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 9*B*a^
2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 18*A*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 18*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 36*A*b^
7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + A*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 2*B*a^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 4*A*a^6*b*tan(1/2*d*x +
1/2*c) + 4*B*a^6*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 13*A*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 2*B*a^5*b^2*tan(1/2*d*x + 1/2*c
) + 2*A*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 16*B*a^4*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 33*A*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) -
9*B*a^3*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 17*A*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 9*B*a^2*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 18*
A*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 6*B*a*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 12*A*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/((a^8 - 2*a^6*b
^2 + a^4*b^4)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^4 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^4 + 2*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - a - b)^2) -
(A*a^2 - 6*B*a*b + 12*A*b^2)*log(abs(tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 1))/a^5 + (A*a^2 - 6*B*a*b + 12*A*b^2)*log(abs(tan
(1/2*d*x + 1/2*c) - 1))/a^5)/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 12.72 (sec) , antiderivative size = 10547, normalized size of antiderivative = 26.24 \[ \int \frac {(A+B \cos (c+d x)) \sec ^3(c+d x)}{(a+b \cos (c+d x))^3} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((A + B*cos(c + d*x))/(cos(c + d*x)^3*(a + b*cos(c + d*x))^3),x)

[Out]

((tan(c/2 + (d*x)/2)^3*(3*A*a^7 + 36*A*b^7 + 2*B*a^7 - 67*A*a^2*b^5 - 29*A*a^3*b^4 + 26*A*a^4*b^3 + 5*A*a^5*b^
2 - 9*B*a^2*b^5 + 35*B*a^3*b^4 + 16*B*a^4*b^3 - 10*B*a^5*b^2 + 18*A*a*b^6 - 4*A*a^6*b - 18*B*a*b^6 - 4*B*a^6*b
))/((a + b)^2*(a^6 - 2*a^5*b + a^4*b^2)) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(3*A*a^7 - 36*A*b^7 - 2*B*a^7 + 67*A*a^2*b^5
- 29*A*a^3*b^4 - 26*A*a^4*b^3 + 5*A*a^5*b^2 - 9*B*a^2*b^5 - 35*B*a^3*b^4 + 16*B*a^4*b^3 + 10*B*a^5*b^2 + 18*A*
a*b^6 + 4*A*a^6*b + 18*B*a*b^6 - 4*B*a^6*b))/((a + b)^2*(a^6 - 2*a^5*b + a^4*b^2)) - (tan(c/2 + (d*x)/2)^7*(A*
a^6 - 12*A*b^6 - 2*B*a^6 + 23*A*a^2*b^4 - 10*A*a^3*b^3 - 8*A*a^4*b^2 - 3*B*a^2*b^4 - 12*B*a^3*b^3 + 4*B*a^4*b^
2 + 6*A*a*b^5 + 5*A*a^5*b + 6*B*a*b^5 + 2*B*a^5*b))/((a^4*b - a^5)*(a + b)^2) + (tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*a^6 - 1
2*A*b^6 + 2*B*a^6 + 23*A*a^2*b^4 + 10*A*a^3*b^3 - 8*A*a^4*b^2 + 3*B*a^2*b^4 - 12*B*a^3*b^3 - 4*B*a^4*b^2 - 6*A
*a*b^5 - 5*A*a^5*b + 6*B*a*b^5 + 2*B*a^5*b))/((a + b)*(a^6 - 2*a^5*b + a^4*b^2)))/(d*(2*a*b - tan(c/2 + (d*x)/
2)^4*(2*a^2 - 6*b^2) - tan(c/2 + (d*x)/2)^2*(4*a*b + 4*b^2) + tan(c/2 + (d*x)/2)^6*(4*a*b - 4*b^2) + tan(c/2 +
(d*x)/2)^8*(a^2 - 2*a*b + b^2) + a^2 + b^2)) - (atan(((((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 - 288*
A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827
*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2
*a^12*b^2 + 72*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 - 288*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 + 441*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2
*a^7*b^7 - 288*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 + 36*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 36*B^2*a^12*b^2 - 288*A*B*a
*b^13 - 12*A*B*a^13*b + 288*A*B*a^2*b^12 + 1128*A*B*a^3*b^11 - 1128*A*B*a^4*b^10 - 1650*A*B*a^5*b^9 + 1632*A*B
*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 - 1008*A*B*a^8*b^6 - 72*A*B*a^9*b^5 + 192*A*B*a^10*b^4 - 108*A*B*a^11*b^3 + 24*A*B*
a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) - (((4*(4*A
*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 +
276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 + 24*B*a^11*b^10 - 12*B*a^12*b^9 - 108*B*a^13*
b^8 + 48*B*a^14*b^7 + 192*B*a^15*b^6 - 84*B*a^16*b^5 - 156*B*a^17*b^4 + 72*B*a^18*b^3 + 48*B*a^19*b^2 - 24*B*a
^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (4*tan(c/2
+ (d*x)/2)*(A*a^2 + 12*A*b^2 - 6*B*a*b)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48
*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3
*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(A*a^2 + 12*A*b^2 - 6*B*a*b))/(2*a^5))*(A*a^2 + 12*A*b^2 -
6*B*a*b)*1i)/(2*a^5) + (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 110
4*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7
+ 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 72*B^2*a^2*b^12 - 7
2*B^2*a^3*b^11 - 288*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 + 441*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 - 288*B^2*a^8*b^6 + 28
8*B^2*a^9*b^5 + 36*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 36*B^2*a^12*b^2 - 288*A*B*a*b^13 - 12*A*B*a^13*b + 288*A*B
*a^2*b^12 + 1128*A*B*a^3*b^11 - 1128*A*B*a^4*b^10 - 1650*A*B*a^5*b^9 + 1632*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 - 10
08*A*B*a^8*b^6 - 72*A*B*a^9*b^5 + 192*A*B*a^10*b^4 - 108*A*B*a^11*b^3 + 24*A*B*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8
*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) + (((4*(4*A*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a
^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4
- 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 + 24*B*a^11*b^10 - 12*B*a^12*b^9 - 108*B*a^13*b^8 + 48*B*a^14*b^7 + 192*B*a^1
5*b^6 - 84*B*a^16*b^5 - 156*B*a^17*b^4 + 72*B*a^18*b^3 + 48*B*a^19*b^2 - 24*B*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b
^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) + (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*a^2 + 12*A*b^2 -
6*B*a*b)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^
16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12
*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(A*a^2 + 12*A*b^2 - 6*B*a*b))/(2*a^5))*(A*a^2 + 12*A*b^2 - 6*B*a*b)*1i)/(2*a^5))/((8*(172
8*A^3*b^15 - 864*A^3*a*b^14 - 7344*A^3*a^2*b^13 + 3456*A^3*a^3*b^12 + 11700*A^3*a^4*b^11 - 4770*A^3*a^5*b^10 -
7829*A^3*a^6*b^9 + 2326*A^3*a^7*b^8 + 1314*A^3*a^8*b^7 - 11*A^3*a^9*b^6 + 411*A^3*a^10*b^5 - 20*A^3*a^11*b^4
+ 20*A^3*a^12*b^3 - 216*B^3*a^3*b^12 + 108*B^3*a^4*b^11 + 972*B^3*a^5*b^10 - 486*B^3*a^6*b^9 - 1728*B^3*a^7*b^
8 + 756*B^3*a^8*b^7 + 1404*B^3*a^9*b^6 - 432*B^3*a^10*b^5 - 432*B^3*a^11*b^4 - 2592*A^2*B*a*b^14 + 1296*A*B^2*
a^2*b^13 - 648*A*B^2*a^3*b^12 - 5724*A*B^2*a^4*b^11 + 2808*A*B^2*a^5*b^10 + 9828*A*B^2*a^6*b^9 - 4203*A*B^2*a^
7*b^8 - 7524*A*B^2*a^8*b^7 + 2268*A*B^2*a^9*b^6 + 1980*A*B^2*a^10*b^5 + 144*A*B^2*a^12*b^3 + 1296*A^2*B*a^2*b^
13 + 11232*A^2*B*a^3*b^12 - 5400*A^2*B*a^4*b^11 - 18594*A^2*B*a^5*b^10 + 7767*A^2*B*a^6*b^9 + 13347*A^2*B*a^7*
b^8 - 3972*A^2*B*a^8*b^7 - 2892*A^2*B*a^9*b^6 + 9*A^2*B*a^10*b^5 - 489*A^2*B*a^11*b^4 + 12*A^2*B*a^12*b^3 - 12
*A^2*B*a^13*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) -
(((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^
2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A
^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 72*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 - 288*B^2
*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 + 441*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 - 288*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 + 36*B^2*a
^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 36*B^2*a^12*b^2 - 288*A*B*a*b^13 - 12*A*B*a^13*b + 288*A*B*a^2*b^12 + 1128*A*B*a^3
*b^11 - 1128*A*B*a^4*b^10 - 1650*A*B*a^5*b^9 + 1632*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 - 1008*A*B*a^8*b^6 - 72*A*B*
a^9*b^5 + 192*A*B*a^10*b^4 - 108*A*B*a^11*b^3 + 24*A*B*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*
b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) - (((4*(4*A*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^
9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*
a^19*b^2 + 24*B*a^11*b^10 - 12*B*a^12*b^9 - 108*B*a^13*b^8 + 48*B*a^14*b^7 + 192*B*a^15*b^6 - 84*B*a^16*b^5 -
156*B*a^17*b^4 + 72*B*a^18*b^3 + 48*B*a^19*b^2 - 24*B*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b
^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*a^2 + 12*A*b^2 - 6*B*a*b)*(8*a^19*b - 8*
a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8
*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(A*
a^2 + 12*A*b^2 - 6*B*a*b))/(2*a^5))*(A*a^2 + 12*A*b^2 - 6*B*a*b))/(2*a^5) + (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14
+ 288*A^2*b^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1
538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*
A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 72*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 - 288*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 + 441*
B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 - 288*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 + 36*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 36*B^2
*a^12*b^2 - 288*A*B*a*b^13 - 12*A*B*a^13*b + 288*A*B*a^2*b^12 + 1128*A*B*a^3*b^11 - 1128*A*B*a^4*b^10 - 1650*A
*B*a^5*b^9 + 1632*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 - 1008*A*B*a^8*b^6 - 72*A*B*a^9*b^5 + 192*A*B*a^10*b^4 - 108*A
*B*a^11*b^3 + 24*A*B*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*
a^13*b^2) + (((4*(4*A*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^
7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 + 24*B*a^11*b^10 - 12*B*a
^12*b^9 - 108*B*a^13*b^8 + 48*B*a^14*b^7 + 192*B*a^15*b^6 - 84*B*a^16*b^5 - 156*B*a^17*b^4 + 72*B*a^18*b^3 + 4
8*B*a^19*b^2 - 24*B*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a
^17*b^2) + (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*a^2 + 12*A*b^2 - 6*B*a*b)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b
^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/(a^5*(a^14*b + a^15 -
a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(A*a^2 + 12*A*b^2 - 6*B*a*b))/(2*a^5)
)*(A*a^2 + 12*A*b^2 - 6*B*a*b))/(2*a^5)))*(A*a^2 + 12*A*b^2 - 6*B*a*b)*1i)/(a^5*d) - (b^2*atan(((b^2*(-(a + b)
^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 1104*A^2
*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*
A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 72*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2
*a^3*b^11 - 288*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 + 441*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 - 288*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2
*a^9*b^5 + 36*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 36*B^2*a^12*b^2 - 288*A*B*a*b^13 - 12*A*B*a^13*b + 288*A*B*a^2*
b^12 + 1128*A*B*a^3*b^11 - 1128*A*B*a^4*b^10 - 1650*A*B*a^5*b^9 + 1632*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 - 1008*A*
B*a^8*b^6 - 72*A*B*a^9*b^5 + 192*A*B*a^10*b^4 - 108*A*B*a^11*b^3 + 24*A*B*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7
- a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) - (b^2*((4*(4*A*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^
11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4
- 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 + 24*B*a^11*b^10 - 12*B*a^12*b^9 - 108*B*a^13*b^8 + 48*B*a^14*b^7 + 192*B*a^15
*b^6 - 84*B*a^16*b^5 - 156*B*a^17*b^4 + 72*B*a^18*b^3 + 48*B*a^19*b^2 - 24*B*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^
7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (4*b^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a -
b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4)*(8*a^19*b - 8*a^10*b
^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*
b^2))/((a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^
6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 2
9*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b
^4 - 5*a^13*b^2)))*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4)*1i)/(2*(a^15 -
a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)) + (b^2*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/
2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11
+ 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5
+ 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 72*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 - 288*B^2*a^4*b^10 +
288*B^2*a^5*b^9 + 441*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 - 288*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 + 36*B^2*a^10*b^4 - 7
2*B^2*a^11*b^3 + 36*B^2*a^12*b^2 - 288*A*B*a*b^13 - 12*A*B*a^13*b + 288*A*B*a^2*b^12 + 1128*A*B*a^3*b^11 - 112
8*A*B*a^4*b^10 - 1650*A*B*a^5*b^9 + 1632*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 - 1008*A*B*a^8*b^6 - 72*A*B*a^9*b^5 + 1
92*A*B*a^10*b^4 - 108*A*B*a^11*b^3 + 24*A*B*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^1
1*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) + (b^2*((4*(4*A*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100
*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^
2 + 24*B*a^11*b^10 - 12*B*a^12*b^9 - 108*B*a^13*b^8 + 48*B*a^14*b^7 + 192*B*a^15*b^6 - 84*B*a^16*b^5 - 156*B*a
^17*b^4 + 72*B*a^18*b^3 + 48*B*a^19*b^2 - 24*B*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*
a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) + (4*b^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*
a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8
- 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/((a^15 - a^5*b^10 + 5*a^
7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 -
3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 2
0*A*a^4*b - 6*B*a*b^4))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))*(12*A*b^5 -
12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4)*1i)/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9
*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))/((8*(1728*A^3*b^15 - 864*A^3*a*b^14 - 7344*A^3*a^2*b^13 + 3456*A^3*a^3*b^12
+ 11700*A^3*a^4*b^11 - 4770*A^3*a^5*b^10 - 7829*A^3*a^6*b^9 + 2326*A^3*a^7*b^8 + 1314*A^3*a^8*b^7 - 11*A^3*a^
9*b^6 + 411*A^3*a^10*b^5 - 20*A^3*a^11*b^4 + 20*A^3*a^12*b^3 - 216*B^3*a^3*b^12 + 108*B^3*a^4*b^11 + 972*B^3*a
^5*b^10 - 486*B^3*a^6*b^9 - 1728*B^3*a^7*b^8 + 756*B^3*a^8*b^7 + 1404*B^3*a^9*b^6 - 432*B^3*a^10*b^5 - 432*B^3
*a^11*b^4 - 2592*A^2*B*a*b^14 + 1296*A*B^2*a^2*b^13 - 648*A*B^2*a^3*b^12 - 5724*A*B^2*a^4*b^11 + 2808*A*B^2*a^
5*b^10 + 9828*A*B^2*a^6*b^9 - 4203*A*B^2*a^7*b^8 - 7524*A*B^2*a^8*b^7 + 2268*A*B^2*a^9*b^6 + 1980*A*B^2*a^10*b
^5 + 144*A*B^2*a^12*b^3 + 1296*A^2*B*a^2*b^13 + 11232*A^2*B*a^3*b^12 - 5400*A^2*B*a^4*b^11 - 18594*A^2*B*a^5*b
^10 + 7767*A^2*B*a^6*b^9 + 13347*A^2*B*a^7*b^8 - 3972*A^2*B*a^8*b^7 - 2892*A^2*B*a^9*b^6 + 9*A^2*B*a^10*b^5 -
489*A^2*B*a^11*b^4 + 12*A^2*B*a^12*b^3 - 12*A^2*B*a^13*b^2))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5
+ 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) - (b^2*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14
+ 288*A^2*b^14 - 288*A^2*a*b^13 - 2*A^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1
538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8 + 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*
A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 + 72*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 - 288*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 + 441*
B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 - 288*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 + 36*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 36*B^2
*a^12*b^2 - 288*A*B*a*b^13 - 12*A*B*a^13*b + 288*A*B*a^2*b^12 + 1128*A*B*a^3*b^11 - 1128*A*B*a^4*b^10 - 1650*A
*B*a^5*b^9 + 1632*A*B*a^6*b^8 + 984*A*B*a^7*b^7 - 1008*A*B*a^8*b^6 - 72*A*B*a^9*b^5 + 192*A*B*a^10*b^4 - 108*A
*B*a^11*b^3 + 24*A*B*a^12*b^2))/(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*
a^13*b^2) - (b^2*((4*(4*A*a^21 - 48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^1
4*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 + 24*B*a^11*b^10 - 12
*B*a^12*b^9 - 108*B*a^13*b^8 + 48*B*a^14*b^7 + 192*B*a^15*b^6 - 84*B*a^16*b^5 - 156*B*a^17*b^4 + 72*B*a^18*b^3
+ 48*B*a^19*b^2 - 24*B*a^20*b))/(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 -
3*a^17*b^2) - (4*b^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15
*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^1
4*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4 - 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/((a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10
*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)*(a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2
)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4))
/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^
3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^1
3*b^2)) + (b^2*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A^2*a^14 + 288*A^2*b^14 - 288*A^2*a*b^13 -
2*A^2*a^13*b - 1104*A^2*a^2*b^12 + 1104*A^2*a^3*b^11 + 1538*A^2*a^4*b^10 - 1538*A^2*a^5*b^9 - 827*A^2*a^6*b^8
+ 872*A^2*a^7*b^7 + 18*A^2*a^8*b^6 - 108*A^2*a^9*b^5 + 74*A^2*a^10*b^4 - 40*A^2*a^11*b^3 + 21*A^2*a^12*b^2 +
72*B^2*a^2*b^12 - 72*B^2*a^3*b^11 - 288*B^2*a^4*b^10 + 288*B^2*a^5*b^9 + 441*B^2*a^6*b^8 - 432*B^2*a^7*b^7 - 2
88*B^2*a^8*b^6 + 288*B^2*a^9*b^5 + 36*B^2*a^10*b^4 - 72*B^2*a^11*b^3 + 36*B^2*a^12*b^2 - 288*A*B*a*b^13 - 12*A
*B*a^13*b + 288*A*B*a^2*b^12 + 1128*A*B*a^3*b^11 - 1128*A*B*a^4*b^10 - 1650*A*B*a^5*b^9 + 1632*A*B*a^6*b^8 + 9
84*A*B*a^7*b^7 - 1008*A*B*a^8*b^6 - 72*A*B*a^9*b^5 + 192*A*B*a^10*b^4 - 108*A*B*a^11*b^3 + 24*A*B*a^12*b^2))/(
a^14*b + a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2) + (b^2*((4*(4*A*a^21 -
48*A*a^10*b^11 + 24*A*a^11*b^10 + 212*A*a^12*b^9 - 100*A*a^13*b^8 - 360*A*a^14*b^7 + 164*A*a^15*b^6 + 276*A*a^
16*b^5 - 120*A*a^17*b^4 - 80*A*a^18*b^3 + 28*A*a^19*b^2 + 24*B*a^11*b^10 - 12*B*a^12*b^9 - 108*B*a^13*b^8 + 48
*B*a^14*b^7 + 192*B*a^15*b^6 - 84*B*a^16*b^5 - 156*B*a^17*b^4 + 72*B*a^18*b^3 + 48*B*a^19*b^2 - 24*B*a^20*b))/
(a^18*b + a^19 - a^12*b^7 - a^13*b^6 + 3*a^14*b^5 + 3*a^15*b^4 - 3*a^16*b^3 - 3*a^17*b^2) + (4*b^2*tan(c/2 + (
d*x)/2)*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b
^4)*(8*a^19*b - 8*a^10*b^10 + 8*a^11*b^9 + 32*a^12*b^8 - 32*a^13*b^7 - 48*a^14*b^6 + 48*a^15*b^5 + 32*a^16*b^4
- 32*a^17*b^3 - 8*a^18*b^2))/((a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)*(a^14*b +
a^15 - a^8*b^7 - a^9*b^6 + 3*a^10*b^5 + 3*a^11*b^4 - 3*a^12*b^3 - 3*a^13*b^2)))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^(1/2)*
(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8
- 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2)))*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6
*B*a*b^4))/(2*(a^15 - a^5*b^10 + 5*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2))))*(-(a + b)^5*(a - b)^5)^
(1/2)*(12*A*b^5 - 12*B*a^5 - 29*A*a^2*b^3 + 15*B*a^3*b^2 + 20*A*a^4*b - 6*B*a*b^4)*1i)/(d*(a^15 - a^5*b^10 + 5
*a^7*b^8 - 10*a^9*b^6 + 10*a^11*b^4 - 5*a^13*b^2))